Angelo Gatti nacque a Ronta di Mugello il 17 dicembre del 1724 da una famiglia modesta. Dopo gli studi in seminario a Firenze, si iscrisse a medicina presso l'università di Pisa laureandosi con un anno di anticipo. Dopo alcuni incarichi come docente divenne maestro di matematica a bordo delle navi granducali compiendo diversi viaggi nel Mediterraneo orientale. Proprio durante questi viaggi venne a conoscenza di una tecnica medica chiamata inoculazione del vaiolo che consisteva nel prelevare del pus dalle pustole di coloro che avevano contratto la malattia per inocularlo in soggetti sani al fine di renderli immuni in futuro al vaiolo. Questa pratica medica, largamente praticata in oriente, dette origine, una volta arrivata in Europa, ad un acceso dibattito che coinvolse non soltanto l'ambito medico ma anche quello culturale e religioso. Una volta ristabilitosi in Toscana, Angelo Gatti proseguì l'insegnamento della medicina presso l'ateneo pisano e frequentò l'élite culturale fiorentina grazie anche al suo mentore, il celebre medico mugellano Antonio Cocchi.

Nel 1760 Gatti partì insieme ad un nobile francese per Parigi con l'intento di proseguire poi per l'Inghilterra. In Francia però rimase per ben 10 anni diventando uno dei medici inoculatori più apprezzati e discussi. Grazie alla sua particolare tecnica di inoculazione ed alla sua attenzione alla serenità dei pazienti, Angelo Gatti entrò a far parte degli ambienti illuministi della Parigi dell'epoca, fatto questo che se da una parte gli portò molta fortuna, non solo economica, dall'altra gli causò non pochi problemi a cui il medico rispose con due opere Les Réflexions sur les préjugés qui s’opposent aux progrès et à la perfection de l’inoculation e Les Nouvelles réflexions sur la pratique de l'inoculation. Grazie alla protezione del potente ministro del re Luigi XV, il Duca di Choiseul, Angelo ottenne incarichi di prestigio come quello di medico consultore del Re e medico inoculatore per gli allievi delle Scuole Militari di Parigi e La Flèche. Assiduo frequentatore dei salotti parigini, Gatti entrò in contatto con personalità illuministe come Diderot, d'Alembert, il Barone d'Holbach, Ferdinando Galiani e donne influenti come la Duchessa di Choiseul, di cui fu medico personale.

Rientrato in Italia nel 1771 Gatti fu impegnato nelle inoculazioni dei figli del Granduca Pietro Leopoldo e, in virtù della stima del sovrano nei suoi confronti, incaricato di un viaggio d'ispezione in Maremma per valutare lo stato degli ospedali, delle acque e dell'aria. Deciso a ritirarsi a Ronta per condurre una vita tranquilla, fu invece chiamato a Napoli dalla sorella del Granduca, la Regina Maria Carolina, per inoculare i suoi figli. A Napoli Gatti, nonostante il suo forte desiderio di tornare nel Mugello, rimase fino alla fine della sua vita per occuparsi della salute della famiglia reale, oltre a ricoprire il ruolo di consigliere della regina.